Розглянуто задачу моделювання процесу очищення рідин від багатокомпонентного забруднення просторовим фільтром, яка враховує зворотний вплив визначальних факторів (концентрації забруднення рідини та осаду) на характеристики середовища (коефіцієнт пористості, дифузії) і надає можливість визначення малого масообмінного коефіцієнта за умов домінування конвективних складових над дифузійними. Запропоновано алгоритм розв'язку відповідної нелінійної оберненої сингулярно збуреної задачі типу конвекція - дифузія - масообмін.

На основі числових методів комплексного аналізу запропоновано підхід до розв'язання градієнтних задач ідентифікації параметрів кусково-однорідних середовищ за даними томографії прикладених квазіпотенціалів.

Розглянуто задачу ідентифікації параметрів сплесків коефіцієнта провідності середовища за даними томографії прикладених квазіпотенціалів. Запропоновано метод реконструкції зображення, згідно з яким задача аналізу зводиться до застосування числових методів квазіконформних відображень, а задача синтезу - до розв'язання задачі параметричної ідентифікації. Наведено результати числових експериментів і проведено їх аналіз.

Розглянуто просторовий випадок "пірамідального" методу екстраполяції часових рядів, що грунтується на основі аналізу розділених різниць спеціального виду. Для побудови прогнозного значення деякої поверхні у вибраній точці пропонується розглядати шляхи, що проходять через вузли решітки, де відомі значення відповідної поверхні та визначається спеціальний параметр (міра) прогнозованості функції. Тоді як прогнозне значення вибирається результат застосування одновимірного "пірамідального" підходу для серії значень поверхні, що знаходяться вздовж того шляху, для якого міра прогнозованості є максимальною.

Підхід до розв'язання градієнтних задач ідентифікації параметрів квазіідеальних полів за даними томографії прикладених квазіпотенціалів на основі числових методів комплексного аналізу перенесено на випадки анізотропних середовищ. При цьому, аналогічно до існуючих робіт світових вчених, апріорно відомими вважаються деякі додаткові відомості про характер розподілу провідності всередині області (об'єкта дослідження). Проте, на відміну від традиційних підходів до постановки та розв'язання задач електроімпедансної томографії, на ділянках контакту пластинки і тіла окрім усередненого потенціалу тут задається ще й розподіл локальних швидкостей речовини (рідини, струму), а на інших ділянках (лініях течії) - розподіл потенціалу (за експериментальними даними, які апроксимовано із застосуванням сплайнів, кривих Безьє тощо). Генерація вихідних даних на межі досліджуваного об'єкта здійснюється відповідно до полярної моделі (схеми) інжекції струму за заданої суми власних значень тензора провідності середовища. Наявність такого виду даних значно пришвидшує процес подальшого розв'язання поставленої задачі, що зручно, зокрема, за верифікації розробленого авторами методу. Відповідна задача зводиться до ітераційного розв'язання серії задач для рівнянь типу Лапласа, де замість "приграничних числових аналогів рівнянь типу Коші - Рімана" фігурують співвідношення квазіортогональності за спеціальних типів умов оптимізації. А саме: мінімізуючий функціонал побудовано з урахуванням умов типу Коші - Рімана, співвідношення між відповідними тензору анізотропії власними значеннями, а також регуляризуючого доданку; умови-обмеження сформовано на основі умов еліптичності.

У наші дні для оптимізації процесів видобування корисних копалин, у будівництві та промисловості досить поширеною є практика застосування вибухових процесів. Вона надає змогу значно підвищити швидкість виконання робіт і, водночас, знизити їх вартість. Проте, побічні дії застосування вибухівки можуть бути катастрофічними, оскільки її руйнівна сила здатна повністю зносити навіть досить стійкі споруди та завдавати шкоди навколишньому середовищу, тому є необхідність попереднього точного математичного моделювання вибухового процесу з детальним прорахуванням усіх його наслідків. Однією з моделей, котрі застосовуються для дослідження вибухового процесу, є рідинна, яка базується на моделюванні середовища, у якому відбувається вибух, як нестискуваної фільтраційної рідини. При цьому поле швидкостей, породжене вибухом, як правило, вважається потенціальним. Сформовано математичну модель процесу вибуху, яка базується на рідинній. Вона враховує взаємовплив параметрів деформівного анізотропного пористого середовища та характеристик вибухового процесу. Відповідна крайова задача розв'язується з використанням числового методу квазіконформних відображень, що забезпечує можливість її розв'язання з врахуванням наявності зворотного впливу, існування якого суттєво ускладнює процес розв'язування задачі за іншими, менш "динамічними", методами. Адаптовано алгоритм розв'язування крайових задач, що використовуються під час моделювання аналогічних процесів у гідродинаміці й електродинаміці, зокрема, для дослідження фільтраційних процесів та електротомографії. Розроблено методику ідентифікації зовнішньої межі області впливу вибухового процесу шляхом внесення певних змін до "класичного" алгоритму для розв'язування такого типу крайових задач для двозв'язної області, оскільки останній вимагає апріорного задання внутрішнього та зовнішнього контурів області.

Запропоновано просторове узагальнення математичної моделі очищення рідини від багатокомпонентного забруднення, яка, за припущення про домінування конвективних складових цього процесу над дифузійними, враховує зворотний вплив визначальних факторів (концентрації забруднення рідини та осаду) на характеристики середовища (коефіцієнт пористості, дифузії), і містить спеціально задану додаткову умову (умову перевизначення) для знаходження невідомого малого масообмінного коефіцієнта. Побудовано алгоритм розв'язування відповідної нелінійної оберненої сингулярно збуреної задачі типу "конвекція - дифузія - масообмін". На цій підставі проведено комп'ютерний експеримент.

Модифіковано алгоритм розв'язання коефіцієнтних задач ідентифікації параметрів анізотропних середовищ за даними томографії прикладних квазіпотенціалів на випадок наявності конкретнішої апріорної інформації щодо власних напрямків відповідного тензора провідності. Застосування доволі поширене на практиці, зокрема в медицині об'єктом таких досліджень можуть бути середовища з ділянками волокнистості чи шаруватості (до яких належать м'язи, кістки тощо), в яких існують потоки некулястих частинок (наприклад, еритроцитів). В основу відповідного алгоритму й надалі покладено почергове розв'язання задач на квазіконформні відображення та ідентифікацію параметрів, проте його доповнено процедурою розпаралелення обчислень і "пришвидшено" задачу оптимізації. Останнє характеризується значним зменшенням кількості проміжних розрахунків та, у разі накладання додаткових обмежень на власні напрямки тензора провідності, призводить до можливості оптимальної пристосовності алгоритму до конкретних випадків практики. Наведено відповідні результати числових експериментів імітаційного відновлення структури середовища.

На основі запропонованого підходу до розв'язання градієнтних задач ідентифікації параметрів квазіідеальних полів за даними томографії прикладених квазіпотенціалів у випадках анізотропних середовищ та ідеях методу блочної ітерації, розроблено алгоритм, який полягає у послідовному ітераційному застосуванні числових методів квазіконформних відображень для побудови серії динамічних сіток за різних задань крайових умов (що визначаються експериментальними даними) та розв'язання задачі параметричної ідентифікації для кожної з цих сіток. Реконструйоване зображення розподілу тензора провідності у внутрішності досліджуваного об'єкта, одержане в результаті числових розрахунків, проведених на основі розробленого алгоритму, з достатньою точністю відповідає еталонному. Метод характеризується порівняно швидкою комп'ютерною збіжністю (оскільки, на відміну від багатьох використовуваних методів, не потребує знаходження похідних функції розподілу тензора провідності у визначених точках та уточнення граничних вузлів на кожному ітераційному кроці). Суттєвою його особливістю є можливість порівняно легкого його розпаралелення та зупинки процедури обчислення за умови виконання лише деяких із умов закінчення процесу з автоматичним визначенням тих ділянок фізичної області, де мають місце великі похибки обчислень, що надає змогу економніше використовувати машинний час. Розроблений алгоритм реконструкції зображення може бути поширений не тільки на середовища з відомою сумою власних значень тензора провідності, але й на випадки досить широких інших залежностей між ними. Зокрема підхід забезпечує можливість представлення його деякою комплексно значною функцією як це вимагає біомедична практика.

Запропоновано просторове узагальнення математичної моделі очищення рідини від багатокомпонентного забруднення, яка, за припущення про домінування конвективних складових цього процесу над дифузійними, враховує зворотний вплив визначальних факторів (концентрації забруднення рідини та осаду) на характеристики середовища (коефіцієнт пористості, дифузії), і містить спеціально задану додаткову умову (умову перевизначення) для знаходження невідомого малого масообмінного коефіцієнта. Побудовано алгоритм розв'язування відповідної нелінійної оберненої сингулярно збуреної задачі типу "конвекція - дифузія - масообмін". На цій підставі проведено комп'ютерний експеримент.

Модифіковано алгоритм розв'язання коефіцієнтних задач ідентифікації параметрів анізотропних середовищ за даними томографії прикладних квазіпотенціалів на випадок наявності конкретнішої апріорної інформації щодо власних напрямків відповідного тензора провідності. Застосування доволі поширене на практиці, зокрема в медицині об'єктом таких досліджень можуть бути середовища з ділянками волокнистості чи шаруватості (до яких належать м'язи, кістки тощо), в яких існують потоки некулястих частинок (наприклад, еритроцитів). В основу відповідного алгоритму й надалі покладено почергове розв'язання задач на квазіконформні відображення та ідентифікацію параметрів, проте його доповнено процедурою розпаралелення обчислень і "пришвидшено" задачу оптимізації. Останнє характеризується значним зменшенням кількості проміжних розрахунків та, у разі накладання додаткових обмежень на власні напрямки тензора провідності, призводить до можливості оптимальної пристосовності алгоритму до конкретних випадків практики. Наведено відповідні результати числових експериментів імітаційного відновлення структури середовища.

На основі запропонованого підходу до розв'язання градієнтних задач ідентифікації параметрів квазіідеальних полів за даними томографії прикладених квазіпотенціалів у випадках анізотропних середовищ та ідеях методу блочної ітерації, розроблено алгоритм, який полягає у послідовному ітераційному застосуванні числових методів квазіконформних відображень для побудови серії динамічних сіток за різних задань крайових умов (що визначаються експериментальними даними) та розв'язання задачі параметричної ідентифікації для кожної з цих сіток. Реконструйоване зображення розподілу тензора провідності у внутрішності досліджуваного об'єкта, одержане в результаті числових розрахунків, проведених на основі розробленого алгоритму, з достатньою точністю відповідає еталонному. Метод характеризується порівняно швидкою комп'ютерною збіжністю (оскільки, на відміну від багатьох використовуваних методів, не потребує знаходження похідних функції розподілу тензора провідності у визначених точках та уточнення граничних вузлів на кожному ітераційному кроці). Суттєвою його особливістю є можливість порівняно легкого його розпаралелення та зупинки процедури обчислення за умови виконання лише деяких із умов закінчення процесу з автоматичним визначенням тих ділянок фізичної області, де мають місце великі похибки обчислень, що надає змогу економніше використовувати машинний час. Розроблений алгоритм реконструкції зображення може бути поширений не тільки на середовища з відомою сумою власних значень тензора провідності, але й на випадки досить широких інших залежностей між ними. Зокрема підхід забезпечує можливість представлення його деякою комплексно значною функцією як це вимагає біомедична практика.

A method for identifying parameters of the conductivity coefficient of objects is generalized for the case of reconstructing an image of a part of a soil massif from the tomography data of the applied quasipotentials. In this case, without diminishing the generality, the reconstruction of the image is carried out in a fragment of a rectangular medium with local bursts of homogeneity present in it. The general idea of the corresponding algorithm consists in the sequential iterative solution of problems on quasiconformal mappings and identification of the parameters of the conductivity coefficient, with an insufficient amount of data on the values of the flow functions on the "inaccessible" part of the boundary. The image was reconstructed according to the data obtained using a full-range gradient array. The developed approach, in comparison with the existing ones, has a number of advantages that make it possible to increase the accuracy of identification of the conductivity coefficient. Namely, it provides an increase, in a qualitative sense, in the amount of input data, allows avoiding the use of Dirac delta functions when modeling areas of application of potentials and sufficiently flexibly take into account the mathematical aspects of the implementation of a quasiconformal mapping of a finite fragment of a half-plane onto a parametric polygon (domain of a complex quasipotential). The solution of the corresponding problem, in particular, occurs not in a single (fixed) investigated fragment of a rectangular soil massif, but in a number of smaller subdomains of the same shape, in the proposed optimal sequence. This saves machine time significantly. The prospects for further practical implementation of the proposed method follow from its ability to give an approximate result with relatively low costs (financial, time).

Актуальність. P-i-n-діоди широко використовуються у техніці надвисоких частот для управління електромагнітним полем. Керування полем здійснюється за рахунок формування в області власного напівпровідника (і-області) електронно- діркової плазми під дією керуючого струму. Розвиток керуючих пристроїв на p-i-n-діодах привів до появи інтегральних p-i-n-структур різних типів, характеристики яких (наприклад, швидкодія, рівень комутованої потужності тощо) перевищують аналогічні характеристики об'ємних діодів. Властивості p-i-n-структур визначають ряд процесів: дифузійно-дрейфовий процес перенесення зарядів, рекомбінаційно-генераційні, теплові, інжекції тощо. Очевидно, що зазначені процеси повинні враховуватись (знаходити відображення) у математичній моделі системи комп'ютерного проектування керуючих пристроїв надвисокочастотних систем. Комплексне врахування процесів приводить до постановки складних задач. Одна із них - задача оптимізації форми, геометричних розмірів та розміщення інжектуючих контактів (активної області). Мета роботи - розробка математичної моделі та відповідного їй програмного комплексу процесу взаємодії надвисокочастотних хвиль з електронно-дірковою плазмою в активній області напівпровідникових комутуючих поверхнево- орієнтованих інтегральних p-i-n-структур з контактами стрічкового типу для проведення процедури оптимізації форми та геометричних розмірів активної області. Основна ідея розробленого алгоритму - застосування методу конформних відображень для приведення фізичної області задачі до канонічного вигляду з подальшим розв'язанням на даній області внутрішніх крайових задач для рівн яння амбіполярної дифузії та хвильового рівняння чисельно-аналітичними методами (використано метод скінченних різниць, частинних областей із застосуванням проекційних граничних умов, аналог методу Гальоркіна). В основі оптимізаційного алгоритму лежить поетапне розв'язання (при заданих на кожному етапі формі та геометричних розмірах активної області) наступних задач: знаходиться розрахункова сітка вузлів для фізичних областей задачі, розраховується розподіл концентрації носіїв заряду в активній області, обчислюється коефіцієнт передачі енергії в досліджуваній системі, який входить в запропонований оптимізаційний функціонал. Екстремальні значення функціоналу знаходяться методом рівномірного пошуку. Запропонована математична модель та відповідний результативний алгоритм оптимізації форми та геометричних розмірів активної області (і-області) інтегральних поверхнево-орієнтованих p-i-n-структур розширює інструментальну базу для проектування напівпровідникових схем надвисоких частот (аналогічних, наприклад, CST MICROWAVE STUDIO). Висновки: розроблено алгоритм оптимізації форми та геометричних розмірів активної області інтегральних поверхнево- орієнтованих p-i-n-структур з заглибленими контактами, що призначені для комутації електромагнітних сигналів міліметрового діапазону. Універсальність алгоритму забезпечується застосуванням методу конформних відображень просторових областей.

Запропоновано малі просторово розподілені впливи на розвиток інфекційного захворювання досліджувати шляхом дифузійного збурення відповідних вироджених модельних задач. Побудовано представлення асимптотичних розвинень розв'язків відповідних сингулярно збурених задач із запізненням, які зведено до послідовності задач без запізнення. Наведені результати числових експериментів характеризують просторово розподілений дифузійний вплив на розвиток інфекційного захворювання. Проілюстровано зниження максимального рівня концентрації патогенних антигенів унаслідок їх дифузійного "перерозподілу" з осередку зараження у менш заражені зони органу-мішені.

Запропоновано математичну модель стаціонарного розподілу електронно-діркової плазми в активній області (i-області) p-i-n-діодів у дифузійно-дрейфовому наближенні. Модель подається у вигляді нелінійної сингулярно збуреної крайової задачі для системи рівнянь неперервності електронно-діркових струмів і Пуассона з відповідними граничними умовами. Проведено декомпозицію нелінійної крайової задачі моделювання стаціонарного розподілу носіїв заряду в плазмі p-i-n-діодів на основі асимптотичного представлення розв'язків. Модельну задачу приведено до послідовності лінійних крайових задач із характерним виділенням основних (регулярних) складових асимптотик і примежових поправок. Встановлено, що постановка задачі для знаходження нульового члена регулярної частини асимптотик співпадає із класичною постановкою задачі моделювання характеристик p-i-n-діодів, яка здійснюється в наближенні амбіполярної дифузії (наближення самоузгодженого поля плазми). Запропонована математична модель і метод її лінеаризації надають змогу виділити у дифузійно-дрейфовому процесі головні складові і дослідити їх роль. Наприклад, з'являється можливість вивчення (у тому числі за аналітичними методами) поведінки плазми в зонах p-i-, n-i-контактів. Результати дослідження спрямовані на розвиток методів проектування p-i-n-діодних структур, які використовуються, зокрема як активні елементи комутаторів сигналів надвисокочастотних систем передачі інформації і відповідних захисних пристроях.

The results of mathematical modeling of stationary physical processes in the electron-hole plasma of the active region (i-region) of integrated p - i - n-structures are presented. The mathematical model is written in the framework of the hydrodynamic thermal approximation, taking into account the phenomenological data on the effect on the dynamic characteristics of charge carriers of heating of the electron-hole plasma as a result of the release of Joule heat in the volume of the i-th region and the release of recombination energy. The model is based on a nonlinear boundary value problem on a given spatial domain with curvilinear sections of the boundary for the system of equations for the continuity of the current of charge carriers, Poisson, and thermal conductivity. The statement of the problem contains a naturally formed small parameter, which made it possible to use asymptotic methods for its analytical-numerical solution. A model nonlinear boundary value problem with a small parameter is reduced to a sequence of linear boundary value problems by the methods of perturbation theory, and the physical domain of the problem with curvilinear sections of the boundary is reduced to the canonical form by the method of conformal mappings. Stationary distributions of charge carrier concentrations and the corresponding temperature field in the active region of p - i - n-structures are obtained in the form of asymptotic series in powers of a small parameter. The process of refining solutions is iterative, with the alternate fixation of unknown tasks at different stages of the iterative process. The asymptotic series describing the behavior of the plasma concentration and potential in the region under study, in contrast to the classical ones, contain boundary layer corrections. It was found that boundary functions play a key role in describing the electrostatic plasma field. The proposed approach to solving the corresponding nonlinear problem can significantly save computing resources.